随机过程

Brown运动（Wiener过程）

若随机过程 $W(t)$ 满足以下三条性质：

1. 轨线连续 $W(0)=0, W(t)是关于 t 的连续函数$
2. 增量正态分布 对于固定 $t$ 有 $W(t)\sim \mathcal N(0,t)$，以及 $W(t)-W(s)\sim \mathcal N(0,t-s)$
3. 增量独立 $W(t_n)-W(t_{n-1}),...,W(t_2)-W(t_1)$ 与 $W(t_1)$ 之间相互独立

则我们称 $W(t)$ 为Brown运动或Wiener过程

二次变差

$\mathbb E[W(t)]^2=t\iff \int_0^t(dW)^2=\int_0^tdt\iff (dW)^2=dt$

proof:

$将[0,t]划分成n份\to(0,\frac{t}{n},\frac{2n}{t},...,t),记增量\ [W(\frac{k}{n}t)-W(\frac{k-1}{n}t)]=\Delta W(\frac{k}{n})$

等价于证明 $\sum\limits_{k=1}^n[\Delta W(\frac{k}{n})]^2\xrightarrow[n\to\infty]{m.s}t$，即 $E[\sum\limits_{k=1}^n(\Delta W(\frac{k}{n}))^2-t]^2\xrightarrow[n\to\infty]{m.s}0$

命题得证

Ito’s formula

$$dg(t,W(t))=\frac{\partial g}{\partial t}dt+\frac{\partial g}{\partial W}dW+\frac12\frac{\partial^2g}{\partial W^2}dt,\\ because\ (dW)^2=dt.$$

IR-SDE应用

假设一个 $x$ 是一个随机过程：

$$dx=Fdt+Gd\omega$$

想要估计 $\psi(x,t)$ ,使用泰勒展开：

$$\psi(x+\Delta x,t+\Delta t)\\ =\psi(x,t)+\frac{\partial\psi}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial\psi}{\partial t}\Delta t+\\ \frac12\big[\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\Delta x^2+\frac{\partial^2\psi}{\partial x\partial t}\Delta t\Delta x+\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}(\Delta t)^2\big]$$

当 $\Delta t\to0^+$ 时：

$$d\psi(x,t)=\frac{\partial\psi}{\partial x}dx+\frac{\partial\psi}{\partial t}dt+\frac12\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}dx^2\\ =\frac{\partial\psi}{\partial t}dt+\frac{\partial\psi}{\partial x_t}(Fdt+Gd\omega)+\frac12\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}(Fdt+Gd\omega)^2\\ =(\frac{\partial\psi}{\partial t}+\frac{\partial\psi}{\partial x_t}F+\frac12G^2\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2})dt+G\frac{\partial\psi}{\partial x}d\omega$$